Question

漁場中魚群的最大養殖量是ｍ噸，為保證魚群的生長空間，實際養殖量不能達到最大養殖量，必須留出適當的空閑量。已知魚群的年增長量ｙ噸和實際養殖量ｘ噸與空閑率乘積成正比，比例系數為ｋ（ｋ＞０）．

寫出ｙ關于ｘ的函數關系式，指出這個函數的定義域；

求魚群年增長量的最大值；

當魚群的年增長量達到最大值時，求ｋ的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（１）ｙ＝ｋｘ（１－）定義域為{x|０＜ｘ＜ｍ。

（２）魚群年增長量的最大值為．

（３）０＜ｋ＜２．

【解析】

試題分析：

思路分析：函數應用問題，要注意“審清題意，設出變量，列出關系式，解決數學問題，答”等解題步驟。

（１）注意理解空閑量為ｍ－ｘ噸，空閑率為。

（２）利用二次函數的性質。

（３）特別注意利用“實際養殖量和年增長量之和小于最大養殖量”，建立不等式。

解：（１）因魚群最大養殖量為ｍ噸，實際養殖量為ｍ噸，則空閑量為（ｍ－ｘ）噸，

空閑率為，依題意，魚群增長量為ｙ＝ｋｘ（１－），

定義域為{x|０＜ｘ＜ｍ。

（２）當ｘ＝ｍ／２時， 

即魚群年增長量的最大值為．

（３）由于實際養殖量和年增長量之和小于最大養殖量，有０＜ｘ＋ｙ＜ｍ成立，

即０＜，得－２＜ｋ＜２，但ｋ＞０，０＜ｋ＜２．

考點：函數模型，二次函數的圖象和性質。

點評：中檔題，函數應用問題，要注意“審清題意，設出變量，列出關系式，解決數學問題，答”等解題步驟。由于是二次函數，處理最值問題時可依二次函數求最值得方法來求，而實際養殖量和年增長量之和小于最大養殖量應是常識，在閱讀題意時要得到這個隱含條件．