Question

（14分）如圖，已知四棱錐的正視圖和側視圖均是直角三角形，俯視圖為矩形，N、F分別是SC、AB的中點， ，．
（1）求證：SA⊥平面ABCD
（2）求證：NF∥平面SAD；
（3）求二面角A-BN-C的余弦值．

Answer 1

17. (1)∵∴-------(3分)
(2)取SD的中點N，連接MN，AM
∵N為SC的中點，∴MN∥CD且MN=
又矩形ABCD中，F為AB的中點，∴AF∥CD且AF=
∴AF∥MN且AF="MN  " 則四邊形AFNM為平行四邊形----------（5分）
∴AM∥FN   AM平面SAD   FN平面SAD  ∴NF∥平面SAD------（7分）
(3)以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，SA所在直線為軸的空間直角坐標系，如圖所示．

則依題意可知相關各點的坐標分別是：
，，，，如下圖所示．
∴------------------…（9分）
∴，
--------------（10分）
設平面ABN的法向量

令----------------------------------------（11分）
設平面的法向量，則，
所以     即                  
所以
令，則------------------------------  (12分)
∴ ------------    （13分）
由圖形知，二面角是鈍角二面角
所以二面角的余弦值為．........................................................ （14分）

略