Question

拋物線y²＝2px（p＞0）上縱坐標為－p的點M到焦點的距離為2．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如圖，A，B，C為拋物線上三點，且線段MA，MB，MC 與x軸交點的橫坐標依次組成公差為1的等差數列，若△AMB的面積是△BMC面積的，求直線MB的方程．

Answer 1

（本題15分）:（Ⅰ）解：設， 則，，
由拋物線定義，得所以．              ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，．
設，， （均大于零）  ……6分
，， 與軸交點的橫坐標依次為．
（1）當軸時，直線的方程為，則，不合題意，舍去．……7分
（2）與軸不垂直時，，
設直線的方程為，即，
令得2，同理2，2，                ……10分
因為依次組成公差為1的等差數列，
所以組成公差為2的等差數列．　　　　　　　　　    ……12分
設點到直線的距離為，點到直線的距離為，
因為，所以=2，
所以　　    　……14分
得，即，所以，
所以直線的方程為：             　　       ……15分
解法二：（Ⅰ）同上．     （Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，．
由題意，設與軸交點的橫坐標依次為
設， （均大于零）．                  ……6分
（1）當軸時，直線的方程為，則，不合題意，舍去． ……7分
（2）與軸不垂直時，
設直線的方程為，即，
同理直線的方程為，
由　得　
則 所以，                         ……12分
同理，設點到直線的距離為，點到直線的距離為，    因為，所以=2，
所以 ……14分
化簡得，即，
所以直線的方程為：             　　       ……15分

略