Question

（2011•寧德模擬）由方程2x|x|-y=1所確定的x，y的函數關系記為y=f（x）．給出如下結論：
①f（x）是R上的單調遞增函數； 
②對于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；
③存在x₀∈（-1，0），使得過點A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直線與曲線f（x）恰有兩個公共點．
其中正確的結論為

①②③

（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

分析：由方程2x|x|-y=1所確定的x，y的函數關系記為y=f（x），f（x）=2x|x|-1=

2x2-1，x≥0 -2x2-1，x＜0

，分別畫出當x≥0和x＜0的函數圖象，它們分別是拋物線的一部分．如圖所示．結合觀察圖象可得答案．

解答：解：由方程2x|x|-y=1所確定的x，y的函數關系記為y=f（x），
則f（x）=2x|x|-1=

2x2-1，x≥0 -2x2-1，x＜0

，
分別畫出當x≥0和x＜0的函數圖象，它們分別是拋物線的一部分．如圖所示．
觀察圖象可知：
①f（x）是R上的單調遞增函數； 正確；
②圖象關于點Q（0，-1）對稱，故對于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；正確；
③當點B是過點A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直線與曲線相切時的切點時，過點A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直線與曲線f（x）恰有兩個公共點，故存在x₀∈（-1，0），使得過點A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直線與曲線f（x）恰有兩個公共點；正確．
故其中正確的結論為 ①②③．
故答案為：①②③．

點評：本小題主要考查分段函數、函數單調性的應用、函數對稱性的應用、帶絕對值的函數等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．