Question

（2002•上海）已知函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）
（1）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數；
（2）用反證法證明f（x）=0沒有負數根．

Answer 1

分析：（1）由于函數f（x）=a^x+1-

3

x+1

，而函數 y=a^x（a＞1）和函數y=-

3

x+1

 在（-1，+∞）上都為增函數，可得函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數．
（2）假設f（x）=0有負數根為x=x₀＜0，則有ax0+1=

3

x0+1

①．分當x₀∈（-1，0）時、當x₀∈（-∞，-1）兩種情況，分別根據

3

x0+1

和ax0+1 的范圍，可得①根本不可能成立，綜上可得假設不成立，命題得證．

解答：解：（1）由于函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）=a^x+1-

3

x+1

，
而函數 y=a^x（a＞1）和函數y=-

3

x+1

 在（-1，+∞）上都為增函數，
故函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數．
（2）假設f（x）=0有負數根為x=x₀，且x₀＜0，則有f（x₀）=0，故有ax0+1=

3

x0+1

 ①．
由于函數y=a^x+1在R上式增函數，且a⁰+1=2，∴ax0+1＜2．
由于函數y=

3

x+1

 在（-1，+∞）上是減函數，當x₀∈（-1，0）時，

3

0+1

=3，∴

3

x0+1

＞3，
∴①根本不可能成立，故①矛盾．
由于由于函數y=

3

x+1

在（-∞，-1）上是增函數，當x₀∈（-∞，-1）時，

3

x0+1

＜0，
而，ax0+1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．
綜上可得，①根本不可能成立，故假設不成立，故f（x）=0沒有負數根．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，用反證法證明不等式，屬于中檔題．