Question

已知函數f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），且當x＜0時，f（x）＞0；
（1）驗證函數f（x）=ln

1-x

1+x

是否滿足這些條件；
（2）判斷這樣的函數是否具有奇偶性和其單調性，并加以證明；
（3）若f（-

1

2

）=1，試解方程f（x）=-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據函數的解析式，求出函數的定義域滿足條件，進而根據對數的運算性質，計算f（x）+f（y）與f（

x+y

1+xy

）并進行比較，根據對數函數的性質判斷當x＜0時，f（x）的符號，可得答案．
（2）令x=y=0，可求f（0）的值，令y=-x，結合函數奇偶性的定義可判斷函數的奇偶性，進而根據f（x）-f（y）=f（x）-f（y）及當x＜0時，f（x）＞0，結合函數單調性的定義得到其單調性
（3）根據（2）中函數的奇偶性可將f（-

1

2

）=1化為f（

1

2

）=-1，進而根據f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），將抽象不等式具體化，可得答案．

解答：解：（1）由

x+y

1+xy

＞0可得-1＜x＜1，即其定義域為（-1，1），
又f（x）+f（y）=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln（

1-x

1+x

•

1-y

1+y

）
=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f（

x+y

1+xy

）
又當x＜0時，1-x＞1+x＞0
∴

1-x

1+x

＞1
∴ln

1-x

1+x

＞0
故f（x）=ln

1-x

1+x

滿足這些條件．
（2）這樣的函數是奇函數．
令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數．
這樣的函數是減函數．
∵f（x）-f（y）=f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）
當-1＜x＜y＜1時，

x-y

1-xy

＜0，由條件知f（

x-y

1-xy

）＞0，即f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是減函數．
（3）∵f（-

1

2

）=1
∴f（

1

2

）=-1
原方程即為2f（x）=-1
即f（x）+f（x）=f（

2x

1+x2

）=f（

1

2

）
∴f（x）在（-1，1）上是減函數
∴

2x

1+x2

=

1

2

∴x²-4x+1=0
解得x=2±

3

又∵x∈（-1，1）
∴x=2-

3

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性與函數的單調性，及對數函數的圖象和性質，其中熟練掌握抽象函數的處理方式，將抽象問題具體化是解答的關鍵．