Question

在某兩個正數x，y之間，若插入一個正數a，使x，a，y成等比數列；若插入兩個正數b，c，使x，b，c，y成等差數列，求證：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．

Answer 1

【答案】分析：根據某兩個正數x，y之間，若插入一個正數a，使x，a，y成等比數列，得到，在根據插入兩個正數b，c，使x，b，c，y成等差數列，得到b=，c=，從而將原不等式轉化為關于x，y的關系式，再利用基本不等式即可
解答：解：∵x，a，y成等比數列
∴a²=xy
∵a＞1
∴
∵x，b，c，y成等差數列
∴b-x=c-b=y-c
即b=，c=
∴（b+1）（c+1）=（）=
∵x＞0，y＞0
∴≥=（a+1）²
即：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．
點評：本題考查了基本不等式，等差數列與等比數列的綜合，屬于基礎題．