Question

設（a，b為實常數）．
（1）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（2）設f（x）是實數集上的奇函數，求a與b的值；
（3）（理） 當f（x）是實數集上的奇函數時，證明對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．
（4）（文）求（2）中函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明不是奇函數，可用特殊值法；如證明：f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數；
（2）利用奇函數定義f（-x）=-f（x），再用待定系數法求解；
（3）即證明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．
（4）先將原函數式化成：，將2^x看成整體，利用其范圍結合不等式的性質即可求得函數f（x）的值域．
解答：解：（1），，，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數；                       （4分）
（2）f（x）是奇函數時，f（-x）=-f（x），即對任意實數x成立．      （6分）
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關于x的恒等式，
所以，所以（舍）或．           （10分）
（3）（理），
因為2^x＞0，所以2^x+1＞1，，從而；                 （14分）
而對任何實數c成立；              （16分）
所以對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．               （18分）
（4）（文） ，因為2^x＞0，（12分）
所以2^x+1＞1，，（14分）
從而；所以函數f（x）的值域為．        （18分）
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想；屬于基礎題．