Question

A：如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC，交AC于點D，BC=4cm，
（1）試判斷OD與AC的關系；
（2）求OD的長；
（3）若2sinA-1=0，求⊙O的直徑．
B：（選修4-4）已知直線l經(jīng)過點P（1，1），傾斜角α=

3π

4

．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）設l與圓x²+y²=4相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．

Answer 1

分析：A：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，以及三角形的中位線定理，可得AC⊥OD；
（2）在△ACB中，BC=4cm且OD是中位線，根據(jù)三角形的中位線定理，得OD=

1

2

BC=2cm；
（3）Rt△ADO中，利用正弦的定義結合OD=2cm，得到半徑OA=4cm，從而得到⊙O的直徑長．
B：（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程關于傾斜角的公式，得參數(shù)方程為 

x=1+tcos 3π 4 y=1+tsin 3π 4

（t為參數(shù)），再化簡整理即可；
（2）將點（1-

2

2

t，1+

2

2

t）代入圓x²+y²=4的方程中，再化簡整理得：t²=2，設方程的兩個根為 t₁，t₂，根據(jù)參數(shù)方程中t的幾何意義結合一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到點P到A、B兩點的距離之積|t₁||t₂|=|t₁t₂|=2．

解答：解：（A）（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠C=90°，即AC⊥BC，又∵OD∥BC，
∴AC⊥OD…（3分）
（2）∵O為AB中點，OD∥BC
∴OD為△ACB的中位線
∴OD=

1

2

BC=2cm…（6分）
（3）∵2sinA-1=0，∴sinA=

1

2

∴Rt△ADO中，sinA=

OD

OA

=

1

2

，
又∵OD=2cm，
∴OA=4cm，
因為半徑等于4cm，所以⊙O的直徑是8cm…（10分）
（B）（1）由題意，可得直線的參數(shù)方程為 

x=1+tcos 3π 4 y=1+tsin 3π 4

（t為參數(shù)）
整理得

x=1- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數(shù)）…（3分）
（2）把

x=1- 2 2 t y=1+ 2 2 t

代入圓x²+y²=4的方程中，得(1-

2

2

t)2+(1+

2

2

t)2=4
整理得：t²=2，設方程的兩個根為 t₁，t₂，則

t1+t2=0 t1t2=-2

…（7分）
由參數(shù)方程中t的幾何意義可知|t₁|，|t₂|即為點P到A、B兩點的距離，
∴點P到A、B兩點的距離之積|t₁||t₂|=|t₁t₂|=2…（10分）

點評：本題第一問給出一個平面幾何證明問題，著重考查了圓有關的比例線段和三角函數(shù)在直角三角形中的定義；第二問結合直線方程的參數(shù)方程形式，著重考查了直線的基本量與基本形式和參數(shù)方程中參數(shù)的意義等知識點，都屬于基礎題．