Question

設函數．
（1）求函數的單調遞增區間；
（2）若關于的方程在區間內恰有兩個相異的實根，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）函數的單調遞增區間為；（2）的取值范圍是．

試題分析：（1）確定出函數的定義域是解決本題的關鍵，利用導數作為工具，求出該函數的單調遞增區間即為的的取值區間；（2）方法一：利用函數思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構造函數，研究構造函數的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數的取值范圍．方法二：先分離變量再構造函數，利用函數的導數為工具研究構造函數的單調性，根據題意列出關于實數的不等式組進行求解．本題將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題，是解決問題的關鍵．
試題解析：（1）函數的定義域為，          1分
∵，            2分
∵，則使的的取值范圍為，
故函數的單調遞增區間為．              4分
（2）方法1：∵，
∴．        6分
令，
∵，且，
由．
∴在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，            9分
故在區間內恰有兩個相異實根 12分
即解得：．
綜上所述，的取值范圍是．         14分
方法2：∵，
∴．        6分
即，
令，
∵，且，
由．
∴在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．     9分
∵，，，
又，
故在區間內恰有兩個相異實根．        12分
即．
綜上所述，的取值范圍是．         14分