Question

如圖所示，有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，求剪去的小正方形的邊長及容積最大值．

Answer 1

分析：列出容積與小正方形的邊長的函數關系，建立實際問題的函數模型，利用導數作為工具求解該最值問題．

解答：解：設剪去的小正方形的邊長為a，
則紙盒的容積為V=a（8-2a）（5-2a），（0＜a＜

5

2

）
∴V=4a³-26a²+40a，
∴V′=12a²-52a+40=4（a-1）（3a-10）
∴0＜a＜1，V′＞0；
1＜a＜

5

2

，V′＜0，
∴函數在（0，1）上單調遞增，在（1，

5

2

）上單調遞減，
∴a=1時，函數取得極大值，且為最大值，
∴剪去的小正方形的邊長為1，容積最大值為18．

點評：本題考查函數的應用，考查函數模型的工具作用，考查求函數最值的導數思想，屬于中檔題．