Question

已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）²+（y+1）²=12．
（1）試證明：不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；
（2）求直線l被圓C截得的最短弦長．

Answer 1

分析：（1）聯立直線l與圓C方程，消去y得到關于x的一元二次方程，根據根的判別式恒大于0，得到不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；
（2）設直線與圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出直線l被圓C截得的弦長，設t=

4k+3

1+k2

，討論出t的最大值，即可確定出弦長的最小值．

解答：解：（1）由

y=kx+1 (x-1)2+(y+1)2=12

，消去y得到（k²+1）x²-（2-4k）x-7=0，
∵△=（2-4k）²+28k²+28＞0，
∴不論k為何實數，直線l和圓C總有兩個交點；
（2）設直線與圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線l被圓C截得的弦長|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=2

8-4k+11k2 1+k2

=2

11- 4k+3 1+k2

，
令t=

4k+3

1+k2

，則有tk²-4k+（t-3）=0，
當t=0時，k=-

3

4

；
當t≠0時，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，
解得：-1≤t≤4，且t≠0，
則t=

4k+3

1+k2

的最大值為4，此時|AB|最小值為2

7

，
則直線l被圓C截得的最短弦長為2

7

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：直線與圓的交點，兩點間的距離公式，根的判別式，以及一元二次方程的性質，是一道綜合性較強的試題．