Question

（本題滿(mǎn)分16分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分8分，第2小題滿(mǎn)分8分.

     已知雙曲線(xiàn)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l的方向向量

（1）       當(dāng)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)m平行時(shí)，求直線(xiàn)l的方程及l(fā)與m的距離；

（2）       證明：當(dāng)>時(shí)，在雙曲線(xiàn)C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線(xiàn)l的距離為.

Answer 1

（1）雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)，即           …… 2分

直線(xiàn)的方程                                   …… 6分

直線(xiàn)與m的距離                                …… 8分

   （2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)

       則直線(xiàn)與的距離，

   當(dāng)時(shí)，.                                  …… 12分

   又雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)為，

   雙曲線(xiàn)C的右支在直線(xiàn)的右下方，

   雙曲線(xiàn)C的右支上的任意點(diǎn)到直線(xiàn)的距離大于.      

   故在雙曲線(xiàn)C的右支上不存在點(diǎn)Q到到直線(xiàn)的距離為   …… 16分

         假設(shè)雙曲線(xiàn)C右支上存在點(diǎn)Q到到直線(xiàn)的距離為 ，

（2）

則 ，   （1）

由（1）得，                      …… 11分

設(shè)

當(dāng)時(shí)，：

               …… 13分

將代入（2）得，

，

故在雙曲線(xiàn)C的右支上不存在點(diǎn)Q到到直線(xiàn)的距離為   …… 16分

解析:

⑴中知道雙曲線(xiàn)的方程可以求出漸近線(xiàn)方程，因?yàn)橹本�(xiàn)l和漸近線(xiàn)平行，所以可以確定l的方程，直線(xiàn)l與m方程確定，可以利用兩條平行線(xiàn)間的距離公式求出距離.⑵是一個(gè)存在性問(wèn)題，可以尋找參考對(duì)象，也可用反證法.