Question

設M是由滿足下列條件的函數f(x)構成的集合：

①方程f(x)-x=0有實數根；②函數f(x)的導函數f′(x)滿足0＜f′(x)＜1.

(1)判斷函數f(x)=x+sinx是否是集合M中的元素，并說明理由；

(2)集合M中的元素f(x)具有下列性質：

    若f(x)的定義域為I,則對于任意［m,n］I都存在x₀∈［m,n］，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立.

請利用這一性質證明：方程f(x)-x=0有唯一的實數根；

(3)若存在實數x₁,使得M中元素f(x)定義域中的任意實數a、b都有|a-x₁|＜1和|b-x₁|＜1成立，證明：|f(b)-f(a)|＜2.

Answer 1

解：(1)因為f′(x)=+cosx,

∴f′(x)∈［,］,滿足條件0＜f′(x)＜1,

    又∵當x=0時，f(0)=0  ∴方程f(x)-x=0有實數根0.

∴f(x)=x+sinx是集合M中的元素.

(2)假設方程f(x)-x=0存在兩個實數根α、β(α≠β)，

    則f(α)-α=0,f(β)-β=0.

    不妨設α＜β,根據題意，存在實數c∈［α、β］

    使得f(β)-f(α)=(β-α)f′(c)成立.

    又f(β)=β,f(α)=α,α≠β,

∴這時f′(c)=1.

    這與0＜f′(x)＜1矛盾，∴方程f(x)-x=0只有一個實數根.

(3)不妨設a＜b,∵f′(x)＞0,∴f(x)為增函數.

∴f(a)＜f(b).

    又∵f′(x)-1＜0,∴函數f(x)-x為減函數.

∴f(a)-a＞f(b)-b.∴0＜f(b)-f(a)＜b-a,即|f(b)-f(a)|＜|b-a|.

∴|f(b)-f(a)|＜|b-a|=|b-x₁-(a-x₁)|≤|b-x₁|+|a-x₁|＜2.

∴結論成立.