Question

已知直線x+ky-3=0所經過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證明：當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長L的取值范圍．

Answer 1

（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，
所以直線過定點（3，0），即F為（3，0）．
設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

解得

a=5 b=4 c=3

故所求橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．

（2）因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以

m2

25

+

n2

16

=1．
從而圓心O到直線l的距離
d=

1

m2+n2

=

1

m2+16(1- 1 25 m2)

=

1

9 25 m2 +16

＜1．
所以直線l與圓O恒相交．
又直線l被圓O截得的弦長
L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 9 25 m2 +16

，由于0≤m²≤25，
所以16≤

9

25

m²+16≤25，則L∈[

15

2

，

4 6

5

]，
即直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是[

15

2

，

4 6

5

]．