Question

如圖1，在平面內，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D′′與D′重合于點D₁．設直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側（圖2）．
（Ⅰ） 設二面角E-AC-D₁的大小為θ，若

π

4

≤θ≤

π

3

，求線段BE長的取值范圍；
（Ⅱ）在線段D₁E上存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求

D1P

PE

與BE之間滿足的關系式，并證明：當0＜BE＜a時，恒有

D1P

PE

＜1．

Answer 1

分析：（I）設菱形ABCD的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標系BE=t，分別求出平面D₁AC的法向量與平面EAC的法向量，代入向量夾角公式，并根據

π

4

≤θ≤

π

3

，構造關于t的不等式，即可求出線段BE長的取值范圍；
（Ⅱ）設

D1P

=λ

PE

，分別求出平面PA₁C₁和平面EAC的法向量，并根據平面PA₁C₁∥平面EAC得到λ，a，t的關系式，結合0＜BE＜a，即可得到結論．

解答：解：設菱形ABCD的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標系如圖．
設BE=t（t＞0）．
（Ⅰ）A(

3

2

a，0，0)，C(-

3

2

a，0，0)，D1(0，-

a

2

，a)，E(0，

a

2

，t)．

AD1

=(-

3

2

a，-

a

2

，a)，

AC

=(-

3

a，0，0)，
設平面D₁AC的法向量為

n1

=(x1，y1，1)，則

n1 • AD1 =0 n1 • AC =0

?

- 3 2 ax1- a 2 y1+a=0 - 3 ax1=0

?

x1=0 y1=2

∴

n1

=(0，2，1)．（3分）

AE

=(-

3

2

a，

a

2

，t)，
設平面EAC的法向量為

n2

=(x2，y2，-1)，
則

n2 • AE =0 n2 • AC =0

?

- 3 2 ax2+ a 2 y2-t=0 - 3 ax2=0

?

x2=0 y2= 2t a

∴

n2

=(0，

2t

a

，-1)．（4分）
設二面角E-AC-D₁的大小為θ，則cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

4t-a

20t2+5a2

，（6分）
∵cosθ∈[

1

2

，

2

2

]，∴

1

2

≤|

4t-a

20t2+5a2

|≤

2

2

，
解得

8+5 3

22

a≤t≤

3a

2

．所以BE的取值范圍是[

8+5 3

22

a，

3a

2

]．（8分）
（Ⅱ）設

D1P

=λ

PE

，則P(0，

a

2

•

λ-1

λ+1

，

λt+a

1+λ

)．∵A1(

3

2

a，0，a)，∴

A1P

=(-

3

2

a，

a

2

•

λ-1

λ+1

，

λt-aλ

1+λ

)．
由平面PA₁C₁∥平面EAC，得A₁P∥平面EAC，∴

A1P

•

n2

=0．∴t•

λ-1

λ+1

-

λt-aλ

1+λ

=0，化簡得：λ=

t

a

（t≠a），即所求關系式：

D1P

PE

=

BE

a

（BE≠a）．
∴當0＜t＜a時，

D1P

PE

＜1．即：當0＜BE＜a時，恒有

D1P

PE

＜1．（14分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面平行的性質，與二面角有關的立體幾何綜合問題，向量語言表述面面的平行關系，建立適當的空間坐標系，將空間二面角問題及面面平行問題轉化為向量的夾角問題是解答本題的關鍵．