Question

如圖，在正比例函數y=kx（k＞0）圖象上有一列點P₁，P₂，P₃，P₄，…，P_n，…．已知n≥2時，

Pn-1Pn+1

=n

Pn P   n+1

．設線段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的長分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n，且a₁=1．
（1）求出a₂，a₃的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設點M_n（n，a_n）（n≥2，n∈N），證明：這些點中不可能同時有兩個點在正比例函數y=kx（k＞0）的圖象上．

Answer 1

分析：（1）由題設條件結合向量和的運算，知| 

Pn-1Pn

 |=(n-1)| 

Pn P   n+1

 |，從而得出數列{a_n}的遞推關系式，即可得出a₂，a₃的值；
（2）將（1）中的a₁=（2-1）a₂，a₂=（3-1）a₃，a₃=（4-1）a₄．…，a_n=na_n+1等關系式相乘即可得數列{a_n}的通項公式；
（3）對于結論是否定形式的命題，往往反證法證明．

解答：解：（1）由

Pn-1Pn+1

=n

Pn P   n+1

得

Pn-1Pn

+

PnPn+1

=n

Pn P   n+1

，
∴

Pn-1Pn

=(n-1)

Pn P   n+1

∴| 

Pn-1Pn

 |=(n-1)| 

Pn P   n+1

 |，
即a₁=（2-1）a₂，a₂=（3-1）a₃，a₃=（4-1）a₄．…，a_n=na_n+1
∴a₂=1，a₃=

1

2

（2）將（1）中的a₁=（2-1）a₂，a₂=（3-1）a₃，a₃=（4-1）a₄．…，
a_n=na_n+1等關系式相乘得a₁=1•2•3•4•…•n•a_n+1，
即an+1=

1

1•2•3•…•n

∴an=

1

1•2•3•…•(n-1)

（3）設點M_m（m，a_m），N_n（n，a_n）（m≠n）在正比例函數y=kx（k＞0），
則a_m=km，a_n=kn，即km=

1

1•2•3•…•(m-1)

，kn=

1

1•2•3•…•(n-1)

∴k=

1

1•2•3•…•m

，k=

1

1•2•3•…•n

，從而1•2•3•…•m=1•2•3•…•n
這與m≠n矛盾，故不可能同時有兩個點在正比例函數y=kx（k＞0）的圖象上．

點評：本題考查數列現解析幾何的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地應用反證法．