Question

已知函數f（x）=xln（1+x）-a（x+1），其中a為實常數．
（1）當x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（2）求函數g(x)=f′(x)-

ax

1+x

的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）的導函數，將a分類出來得則a＜ln(1+x)+

x

1+x

，然后利用導數研究不等式右式函數的最小值即可；
（2）先求出函數g（x）的解析式，求出導函數g'（x），討論a與1的大小，從而確定導函數的正負，當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．

解答：解：（1）由題意知：f′(x)=ln(1+x)+

x

1+x

-a＞0
則a＜ln(1+x)+

x

1+x

，（2分）
令h(x)=ln(1+x)+

x

1+x

，h′(x)=

1

1+x

+

1

(1+x)2

∵x∈[1，+∞），∴h'（x）＞0
即h（x）在[1，+∞）上單調遞增（4分）
∴a＜h(1)=

1

2

+ln2，
∴a的取值范圍是(-∞，

1

2

+ln2)．（6分）
（2）由（1）知g(x)=ln(1+x)+

(1-a)x

1+x

-a，x∈(-1，+∞)
則g′(x)=

1

1+x

+

1-a

(1+x)2

=

x+2-a

(1+x)2

（7分）
①當a＞1，x∈（-1，a-2）時，g'（x）＜0，g（x）在（-1，a-2）上單調遞減，
x∈（a-2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（a-2，+∞）上單調遞增（9分）
②當a≤1時，g'（x）＞0，g（x）在（-1，+∞）上單調遞增（11分）
綜上所述，當a＞1時，g（x）的增區間為（a-2，+∞），減區間為（-1，a-2）
當a≤1時，g（x）的增區間為（-1，+∞）（12分）

點評：研究不等式恒成立問題常常利用參數分離法，考查了導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，屬于中檔題．