Question

（本題滿分14分）
如圖，已知是棱長為的正方體，點在上，點在上，且．
（1）求證：四點共面；（4分）
（2）若點在上，，點在上，，垂足為，求證：平面；（4分）
（3）用表示截面和側面所成的銳二面角的大小，求．（4分

Answer 1

（1）略
（2）略
（3）；

（1）如圖，在上取點，使，連結， 
，則，．
因為，，所以四邊形，都為平行四邊形．
從而，．
又因為，所以，故四邊形是平行四邊形，
由此推知，從而．
因此，四點共面．
（2）如圖，，又，所以，
．
因為，所以為平行四邊形，從而．
又平面，所以平面．
（3）如圖，連結
因為，，
所以平面，得．
于是是所求的二面角的平面角，即．
因為，所以
，
．
解法二：
（1）建立如圖所示的坐標系，則，，，
所以，故，，共面．
又它們有公共點，所以四點共面．
（2）如圖，設，則，
而，由題設得，
得．
因為，，有，
又，，所以，
，從而，．
故平面．
（3）設向量截面，
于是，．
而，，得，
，解得，，所以．
又平面，
所以和的夾角等于或（為銳角）．
于是．
故．