Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E為BC的中點，F為直線CC₁上的動點，設

C1F

=λ

FC

（1）當λ=1時，求二面角F-DE-C的余弦值；
（2）當λ為何值時，有BD₁⊥EF？

Answer 1

分析：（1）λ=1時，

C1F

=

FC

，以C為原點，CB為x軸，DC為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，則

DF

=(0，2，2)，

EF

=(-1，0，2)，設平面FDE的法向量為

n

，則

n

=(0，0，1)，設平面FDE的法向量為

m

=（x，y，z），由

m

•

EF

=0，

m

•

DF

=0，得

m

=（2，-1，1），由向量法能求出二面角F-DE-C的余弦值．
（2）由D₁（0，-2，4），B（2，0，0），E（1，0，0）設F（0，0，t），則

BD1

=(-2，-2，4)，

EF

=(-1，0，t)，要使EF⊥BD₁，只要

EF

•

BD1

=0，由此能求出λ．

解答：解：（1）λ=1時，

C1F

=

FC

，
以C為原點，CB為x軸，DC為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E為BC的中點，
∴E（1，0，0），F（0，0，2），D（0，-2，0），F（0，0，2），
∴

DF

=(0，2，2)，

EF

=(-1，0，2)，
設平面FDE的法向量為

n

，則

n

=(0，0，1)，
設平面FDE的法向量為

m

=（x，y，z），則

m

•

EF

=0，

m

•

DF

=0，
∴

-x+2z=0 2y+2z=0

，
∴

m

=（2，-1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞= 

m • n

| m |• | n |

=

6

6

，
∴二面角F-DE-C的余弦值為

6

6

．
（2）∵D₁（0，-2，4），B（2，0，0），E（1，0，0）
設F（0，0，t），則

BD1

=(-2，-2，4)，

EF

=(-1，0，t)，
∵EF⊥BD₁，
∴

EF

•

BD1

=0，
∴2+4t=0，
解得t=-

1

2

．
∴F（0，0，-

1

2

）
∴

C1F

=(0，0，-

9

2

)，

FC

=(0，0，

1

2

)，
∴λ=

C1F

FC

=-9．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法和求λ為何值時，有BD₁⊥EF．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地把空間問題轉化為平面問題，注意向量法的靈活運用．