Question

（本小題12分）已知函數．
(1)證明函數的圖像關于點對稱;
（2）若，求；
（3）在（2）的條件下，若 ，為數列的前項和，若對一切都成立，試求實數的取值范圍．

Answer 1

（1） 證明：見解析；（2） ；（3）   .

(1)證明f(x)關于點 對稱，只須證明：設、是函數圖像上的兩點, 其中且,即證：即可.
(2)利用（1）的結論，采用倒序相加的方法求和即可。
（3）當時，， 當時，， .可求出 
然后再本小題可轉化為對一切都成立，即恒成立，又即
恒成立,再構造,研究其最大值即可。
（1） 證明：因為函數的定義域為， 設、是函數圖像上的兩點, 其中且,
則有 
因此函數圖像關于點對稱            ……………………………………4分
（2）由（1）知當時，
①     ②
①+②得 ………………………………………………………………8分
（3）當時，
當時，，
當時，…=
∴ （）
又對一切都成立，即恒成立
∴恒成立，又設,所以在上遞減,所以在處取得最大值
∴，即
所以的取值范圍是                         ………………12分