Question

（本小題滿分12分）
設函數
(Ⅰ) 當時，求函數的最大值；
(Ⅱ)當，，方程有唯一實數解，求正數的值．

Answer 1

(1) 的極大值為，此即為最大值；(2) 。

試題分析：(1)依題意，知的定義域為(0，＋∞)，當時，，
……………2分
令＝0，解得．(∵)
當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減．
所以的極大值為，此即為最大值 ……………4分
(2)因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，
設，則．令，．
因為，， 所以(舍去)，，……  6分
當時，，在(0，)上單調遞減，
當時，，在(，＋∞)單調遞增
當時，＝0，取最小值．
則既……………10分
所以，因為，所以(*)
設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解．
因為，所以方程(*)的解為，即，解得………12分
(直接看出x=1時，m=1/2但未證明唯一性的給3分)
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。通過研究函數的單調區間、最值情況，得出方程解的存在情況。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。