Question

已知點F₁（-1，0），F₂（1，0），動點A到點F₁的距離是2

3

，線段AF₂的中垂線l交AF₁于點P．
（1）當點A變化時，求動點P的軌跡G的方程；
（2）過點F₁、F₂分別作互相垂直的兩條直線分別與軌跡G交于點D、E和點M、N，試求四邊形DMEN的面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，|PA|+|PF₁|=2

3

，及|PA|=|PF₂|，從而有|PF₁|+|PF₂|=2

3

，由橢圓的定義可知動點P的軌跡G的方程
（2）分別考慮求解：當直線DE與x軸垂直時，四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4，；當MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4；當直線DE，MN與x軸均不垂直時，設直線DE的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程，消去y，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
設D點的坐標為（x₁，y₁），E點的坐標為（x₂，y₂），則根據|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 • k2+1

3k2+2

，
可求|DE|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

．MN=

4 3 [(- 1 k )2+1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 (1+k2)

2k2+3

，進而有四邊形DMEN的面積S=

1

2

DE•MN=

1

2

•

4 3 (1+k2)

2+3k2

•

4 3 (1+ 1 k2 )

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

，結合函數的單調性及基本不等式可求面積的最值

解答：解：（1）如圖，|AF₁|=2

3

，
∴|PA|+|PF₁|=2

3

，
又∵|PA|=|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=2

3

，
由橢圓的定義可知動點P的軌跡G的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）當直線DE與x軸垂直時，|DE|=

4

3

，
此時|MN|=2

3

，四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4，同理，當MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積為

|DE|•|MN|

2

=4．
當直線DE，MN與x軸均不垂直時，設直線DE的方程為
y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程，消去y，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
設D點的坐標為（x₁，y₁），E點的坐標為（x₂，y₂），
則∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 • k2+1

3k2+2

，
∴|DE|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

．
同理，MN=

4 3 [(- 1 k )2+1]

2+3(- 1 k )2

=

4 3 (1+k2)

2k2+3

∴四邊形DMEN的面積S=

1

2

DE•MN=

1

2

•

4 3 (1+k2)

2+3k2

•

4 3 (1+ 1 k2 )

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

令u=k2+

1

k2

，得s=

24(2+u)

13+6u

=4-

4

13+6u

∵u=k2+

1

k2

≥2∴當k=±1時，u=2，S=

96

25

且S是以u為自變量的增函數，所以

96

25

≤S＜4
綜上可知，四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為

96

25

點評：本題主要考查了曲線的軌跡方程的求解及直線與曲線的位置關系的求解，求解圓錐曲線的方程時的關鍵是靈活的應用橢圓的定義，而 處理直線與曲線的位置時的關鍵是要設直線方程，容易漏洞對斜率的存在的討論