Question

對于定義域為G的函數f（x），如果同時滿足下列兩個條件：①f（x）在G內是單調函數；②存在區間[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦為[a，b]，那么就稱f（x）為好函數．
（Ⅰ）判斷函數f（x）=+1在（0，+∞）上是否為好函數？并說明理由；
（Ⅱ）求好函數f（x）=-x³+1符合條件的一個區間[a，b]；
（Ⅲ）若函數f（x）=m+是好函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數f（x）=+1
∴f′（x）== …
又∵f′（e）＜0，f′（1）＞0，
∴f（x）=+1在（0，+∞）上不是單調函數…
∴f（x）=+1在（0，+∞）上不是好函數 …
（Ⅱ）∵f（x）=-x³+1在[a，b]上減函數
∴f（x）的最大值為f（a），最小值為f（b）
故函數f（x）的值域為[f（b），f（a）]…
∴f（a）=b，f（b）=a
即且a＜b …
∴解得a=0，b=1，故符合條件的一個閉區間為[0，1]…
（Ⅲ）∵f（x）=m+是好函數，
∴存在區間[a，b]⊆[-2，+∞），使f（x）=m+在[a，b]上的值域亦為[a，b]…
∵f′（x）=＞0恒成立
故f（x）=m+在[-2，+∞）上為增函數
∴
∴a，b是方程的兩個相異實根，且a＜b
由得：x²-（2m+1）x+m²-2=0
故兩個相異實根
令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2
（ⅰ）當m≤-2時，可得
解得：m＞
∴＜m≤-2 …

（ⅱ）當m＞-2時，

解得＜m≤-2，不符合題意
故綜上，m的取值范圍為＜m≤-2 …
【注】：對（Ⅲ），若不討論但答案對，則扣．
分析：（I）求出函數的導函數，由f′（e）＜0，f′（1）＞0，可得f（x）=+1在（0，+∞）上不是單調函數，再由好函數的定義，可得結論
（Ⅱ）由f（x）=-x³+1在[a，b]上減函數，可得f（a）=b，f（b）=a，即且a＜b，解方程組求出a，b值可得符合條件的區間[a，b]；
（III）利用導數法可得f（x）=m+在[-2，+∞）上為增函數，若函數f（x）=m+是好函數，則，即a，b是方程的兩個相異實根，即兩個相異實根，令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2，分m≤-2時，和m＞-2時兩種情況討論m的取值范圍，最后綜合討論結果可得答案．
點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數與方程的綜合應用，正確理解“好函數”的定義，并能根據定義，歸納整理解答相關問題的方法和步驟是解答的關鍵．