Question

設函數f(x)=ax³+bx²+cx(a＜b＜c)，其圖像在點A(1，f(1))，B(m，f(m))處的切線的斜率分別為0，-a．

(Ⅰ)求證：0≤＜1；

(Ⅱ)若函數f(x)的遞增區間為[s，t]，求|s-t|的取值范圍；

(Ⅲ)若當x≥k時(k是與a，b，c無關的常數)，恒有f′(x)+a＜0，試求k的最小值．

Answer 1

(Ⅰ)證明：f′(x)= ax²+2bx+c，由題意及導數的幾何意義得

f′(1)=a+2b+c=0，(1)

f′(m)=am²+2bm+c=-a，(2)

又a＜b＜c，可得4a＜a+2b+c＜4c，

即4a＜0＜4c，故a＜0，c＞0，

由(1)得c=-a-2b，代入a＜b＜c,再由a＜0，得＜1，(3)

將c=-a-2b代入(2)得am²+2bm-2b=0，

即方程ax²+2bx-2b=0有實根．

故其差別式△=4b²+8ab≥0得

≤-2，或≥0，(4)

由(3)，(4)得0≤＜1;

(Ⅱ)解：由f′(x)= ax²+2bx+c的判別式

△′=4b²-4ac＞0，

知方程f′(x)= ax²+2bx+c=0  (*)有兩個不等實根，設為x₁，x₂，

又由f′(1)=a+2b+c=0知，x₁=1為方程(*)的一個實根，則

由根與系數的關系得x₁+x₂=，x₂=-1＜0＜x₁，

當x＜x₂或x＞x₁時，f′(x)＜0，

當x₂＜x＜x₁時，f′(x)＞0，

故函數f(x)的遞增區間為[x₂，x₁]，

由題設知[x₂,x₁]=[s,t]，

因此|s-t|=| x₁-x₂|=2+，由(1)知0≤＜1得

|s-t|的取值范圍為[2，4)；

(Ⅲ)解：由f′(x)+a＜0，即ax²+2bx+a+c＜0，

即ax²+2bx-2b＜0，

因為a＜0，則x²+2·x-2·＞0，

整理得(2x-2)+x²＞0，

設g()=(2x-2)+x²，可以看作是關于的一次函數，

由題意g()＞0對于0≤＜1恒成立，

故即

得x≤-1或x≥-1，

由題意，[k，+∞)(-∞ , -1]∪[-1，+∞)，

故k≥-1，因此A的最小值為-1．