Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，D、E分別是BB₁、CC₁的中點，M是DE的中點．
（1）求證：DE⊥平面AMA₁；
（2）求三棱錐A₁-ADE的體積；
（3）求二面角A-DA₁-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，

AB

、

AC

、

AA1

分別為x軸、y軸、z軸的正方向，AB的長度為單位長度建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，構造向量，根據向量垂直得到線面垂直．
（2）根據所給的條件先證明線與面垂直，這樣就做出這條垂線是要求的三棱錐的高，只要做出對應的底的面積就可以得到體積．
（3）建立坐標系，寫出要用的點的坐標，構造向量，設出平面的法向量，求出法向量，根據兩個向量所成的角的余弦，確定兩個平面的夾角的余弦值，注意觀察余弦值的符號．

解答：解：（1）以A為原點，

AB

、

AC

、

AA1

分別為x軸、y軸、z軸的正方向，AB的長度為單位長度建立空間直角坐標系．
由題設知點A，A₁，D，E，M的坐標分別為(0，0，0)，(0，0，2)，(1，0，1)，(0，1，1)，(

1

2

，

1

2

，1)．
∴

AA1

=（0，0，2），

DE

=(-1，1，0)，

AM

=(

1

2

，

1

2

，1)
∴

DE

•

AA1

=0，

DE

•

AM

=0
∴AA₁⊥DE，DE⊥AM，AM∩AA₁=A，AM?平面AMA₁，AA₁?平面AMA₁
∴DE⊥平面AMA₁
（2）取AA₁的中點F，連DF，EF
∴DF₌^∥AB=1，EF₌^∥AC=1∴DF⊥AA₁，DF⊥EF
又AA₁∩EF=F，AA₁?平面AA₁E，EF?平面AA₁E
∴DF⊥平面AA₁E∴VA1-ADE=VD-A1AE=

1

3

•S△A1AE•DF=

1

3

×

1

2

×AA1×EF×DF=

1

6

×2×1×1=

1

3

（3）以A為原點，

AB

、

AC

、

AA1

分別為x軸、y軸、z軸的正方向，AB的長度為單位長度建立空間直角坐標系．
由題設知點A，A₁，D，C，E的坐標分別為（0，0，0），（0，0，2），（1，0，1），（0，1，0），（0，1，1）．
∴

A1E

=（0，1，-1），

A1D

=(1，0，-1)，

AC

=（0，1，0）
設平面A₁DE的法向量為

n

=(x，y，z)

A1E • n =0 A1D • n =0

?

y-z=0 x-z=0

，取x=1，得

n

=(1，1，1)．
∵AB⊥AC，AA₁⊥AC，
∴AC⊥平面A₁DAcos?

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC |•| n |

=

1

3

=

3

3

．
結合圖象知二面角A-DA₁-E的余弦值是

3

3

．

點評：本題考查空間向量求二面角，本題解題的關鍵是建立坐標系，把難度比較大的二面角的求法和線面之間的位置關系，轉化成了數字的運算．此類題由于運算量大，易運算出錯，解題時謹記．