Question

如下圖,ABCD是正方形,PA⊥面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM=EF.

(1)證明MF是異面直線AB與PC的公垂線;

(2)若PA=3AB,求直線AC與平面EAM所成角的正弦值.

Answer 1

(1)證明:因PA⊥底面ABCD,有PA⊥AB.

    又知AB⊥AD,故AB⊥面PAD,推得BA⊥AE.

    又AM∥CD∥EF,且AM=EF,

    可得AEFM是矩形,故AM⊥MF.

    又因為AE⊥PD,AE⊥CD,故AE⊥面PCD.

    而MF∥AE,得MF⊥面PCD.故MF⊥PC.

    因此MF是AB與PC的公垂線.

(2)解:如下圖，連結BD交AC于O點,連結BE,過O作BE的垂線OH,垂足H在BE上,易知PD⊥面MAE,故DE⊥BE.

    又OH⊥BE,故OH∥DE.

    因此OH⊥平面MAE.

    連結AH,則∠HAO是所要求的直線AC與平面MAE所成的角.

    設AB=a,

    則PA=3a,AO=AC=a.

    因Rt△ADE∽Rt△PDA,

    故ED=,OH=ED=,

    從而在Rt△AHO中,sinHAO=.

點評:求直線和平面所成的角時,應注意的問題是:(1)先判斷直線和平面的位置關系;(2)當直線和平面斜交時,常有以下步驟:①作——作出或找到斜線與射影所成的角;②證——論證所作或找到的角為所求的角;③算——常用解三角形的方法求角;④結論——點明斜線和平面所成的角的值.