Question

函數.
（1）若，函數在區間上是單調遞增函數，求實數的取值范圍；
（2）設，若對任意恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）由題意可得，當時，在區間上是單調遞增函數等價于對于任意的，（不妨），恒成立，從而將問題轉化為
在恒成立，即有，在上恒成立，而的，，且，故有，因此分析可得要使恒成立，只需，即有實數的取值范圍是；（2）由題意分析可得問題等價于在上，，從而可將問題轉化為在上，求二次函數
的最大值與最小值，因此需要對二次函數的對稱軸分以下四種情況討論：①當，即；②當，即；③當，即；④當，即，結合二次函數的圖像和性質，可分別得到在以上四種情況下的最大值與最小值，從而可得實數的取值范圍是.
試題解析：（1）時，，
任設，，    ..2分
，
∵函數在上是單調遞增函數，∴恒有，..........3分
∴恒有，即恒有，           .4分
當時，，∴，∴，即實數的取值范圍是    ..6分
（2）當時，
對任意有恒成立等價于在上的最大值與最小值之差        ..7分
當，即時，在上單調遞增，
∴，，∴，與題設矛盾；  ..9分
當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，∴，，∴恒成立，
即有，      ..11分
當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，
∴恒成立，∴；      .13分
當，即時，在上單調遞減，
∴，，∴，與題設矛盾，  .15分
綜上所述，實數的取值范圍是．            16分