Question

（本小題14分）．已知直線Ｌ被兩平行直線：與：所截線段ＡＢ的中點恰在直線上，已知圓．

（Ⅰ）求兩平行直線與的距離；

（Ⅱ）證明直線Ｌ與圓Ｃ恒有兩個交點；

（Ⅲ）求直線Ｌ被圓Ｃ截得的弦長最小時的方程．

Answer 1

（Ⅰ）解：兩平行直線與的距離………3分

（Ⅱ）證明（法一）：設線段AB的中點P的坐標（a，b），由P到L₁，_、L₂的距離相等，得

，

經整理得，，又點P在直線ｘ－4ｙ－１＝０上，所以

解方程組得  即點P的坐標（－3，－1），………7分

所以直線L恒過點P（－３，－１）；……………  8分

將點P（－3，－1）代入圓，可得

所以點P（－3，－1）在圓內，從而過點P的直線Ｌ與圓Ｃ恒有兩個交點．………10分

（Ⅲ）解：當PC與直線Ｌ垂直時，弦長最小，，所以直線Ｌ的斜率為，所以直線Ｌ的方程為：．……………………………14分

（Ⅱ）法二：設線段ＡＢ的中點P必經過直線：，由已知，得

，

所以，所以，得點P（－3，－1），以下同法一