Question

（08年遼寧卷理）在直角坐標系中,點到兩點的距離之和為4,設點的軌跡為,直線與交于兩點.

⑴寫出的方程;

⑵若,求的值;

⑶若點在第一象限,證明:當時,恒有.

Answer 1

說明：本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關系等基礎知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．滿分12分．

解析：

（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）設，其坐標滿足

消去y并整理得，

故．????????????????????????????????????????????????????????? 5分

若，即．

而，

于是，

化簡得，所以．???????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）

                 

                 

                  ．

因為A在第一象限，故．由知，從而．又，

故，

即在題設條件下，恒有．??????????????????????????????????????????????????????????? 12分