Question

已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直線y=2x－2與曲線y=g（x）相切．
（1）若對[1，+）內的一切實數x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）當a=l時，求最大的正整數k，使得對[e，3]（e=2．71828是自然對數的底數）內的任意k個實數x₁，x₂，，x_k都有成立；
（3）求證：．

Answer 1

（1）；（2）的最大值為．
（3）當時，根據（1）的推導有，時，，即．令，得，化簡得，
。

試題分析：（1）設點為直線與曲線的切點，則有．     （*）
，．  （**）
由（*）、（**）兩式，解得，．    2分
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必須恒成立．   
設，，
，當時，，則是增函數，
，是增函數，，．5分
因此，實數的取值范圍是．      6分
（2）當時，，
，在上是增函數，在上的最大值為．
要對內的任意個實數都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．
，解得．
因此，的最大值為．                10分
（3）證明（法一）：當時，根據（1）的推導有，時，，
即．        11分
令，得，   
化簡得，        13分
．    14分
（法二）數學歸納法：當時，左邊=，右邊=，
根據（1）的推導有，時，，即．
令，得，即．
因此，時不等式成立．                    11分
（另解：，，，即．）
假設當時不等式成立，即，
則當時,，
要證時命題成立，即證，
即證．
在不等式中，令，得           
．    
時命題也成立．              13分
根據數學歸納法，可得不等式對一切成立． 14分
點評：（1）本題主要考查導數的幾何意義及其應用和數學歸納法等綜合知識，考查學生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創新意識．對學生的能力要求較高，尤其是分析問題解決問題的能力。（2）解決恒成立問題常用變量分離法，變量分離法主要通過兩個基本思想解決恒成立問題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。