Question

已知A、B為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左右頂點，F為橢圓的右焦點，P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交直線l：x=m（m＞2）于M、N兩點，l交x軸于C點．
（Ⅰ）當PF∥l時，求直線AM的方程；
（Ⅱ）是否存在實數m，使得以MN為直徑的圓過點F，若存在，求出實數m的值；，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）對任意給定的m值，求△MFN面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓方程求出F點的坐標，由PF∥l求出P點坐標，直接利用兩點式寫出直線AM的方程；
（Ⅱ）設出點P、M、N的坐標，由MF和NF垂直得到M和N點坐標的關系，再由A、P、M和B、P、N分別共線得到M的坐標與P的坐標及N的坐標與P的坐標的關系式，三個關系式整理后得到矛盾的式子，說明不存在實數m，使得以MN為直徑的圓過點F；
（Ⅲ）結合（Ⅱ），把|MN|用含有P點的坐標表示，得到的幾何意義是|MN|是直線CP斜率絕對值的倒數的3倍，當CP與橢圓相切時斜率的絕對值最大，倒數最小，此時面積最小，然后設出過C且與橢圓相切的直線方程，由判別式等于0得到直線斜率k與m的關系，把P點的坐標用m表示，得到|MN|，則三角形MFN面積的最小值可求．

解答：解：（Ⅰ）當PF平行于L時，PF垂直于x軸，則A（-2，0），P（1，

3

2

），
又因為A、P、M共線，所以用A、P兩點坐標求得直線AM的方程為：

y-0

3 2 -0

=

x+2

1+2

．
即x-2y+2=0；
（Ⅱ）設存在，設P（x₀，y₀），M（m，y₁），N（m，y₂）．
由MF垂直于NF可得（m-1）²+y₁y₂=0（*）
又由MPA三點共線可以算得：y1=

y0(m+2)

x0+2

①
由NPB三點共線可得y2=

y0(m-2)

x0-2

②
將①②兩式帶入*式可得：(m-1)2+

y02(m2-4)

x02-4

=0．
又因為（x₀，y₀）在橢圓上，得x02=4(1-

y02

3

)，代入上式化簡得m²=4．
∵m＞2，∴不存在實數m，使得以MN為直徑的圓過點F；
（Ⅲ）由（Ⅱ）計算得|MN|=|y₁-y₂|=|

4y0(x0-m)

x02-4

|
=3|

m-x0

y0

|，其幾何意義是直線CP斜率絕對值的倒數的3倍，
當CP與橢圓相切時斜率的絕對值最大，倒數最小，此時面積最小，
設過C（m，0）且與橢圓切于P點的直線為y=k（x-m），
聯立

y=k(x-m) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8mk²+4k²m²-12=0．
由△=（-8mk²）²-4（3+4k²）（4k²m²-12）=0，得k2=

3

m2-4

．
當直線與橢圓相切時，切點P的橫坐標x0=

4mk2

3+4k2

=

4m• 3 m2-4

3+4• 3 m2-4

=

4

m

．
縱坐標y0=±

3(m2-4)

m

．
所以|MN|=3|

m-x0

y0

|=3|

m- 4 m

3(m2-4) m

|=

3(m2-4)

．
所以△MFN面積為S=

1

2

|MN|•(m-1)=

1

2

3(m2-4)•(m-1)2

．

點評：本題考查了直線的一般是方程，考查了三角形的面積公式，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數形結合的解題思想方法與數學轉化思想方法，考查了學生綜合處理問題解決問題的能力，考查了學生的運算能力，是難題．