Question

已知函數（為常數）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為-1.
（1）求的值及函數的極值；（2）證明：當時，；
（3）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有.

Answer 1

（1），極小值為無極大值；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

試題分析：
解題思路：（1）利用導數的幾何意義求，再進一步求極值；（2）構造函數，即證；
（3）結合（2）的結論，對進行分類討論.
規律總結：這是一道典型的導函數問題，綜合性較強，要求我們要有牢固的基礎知識（包括函數的性質、常見解題方法、數形結合等）.
試題解析：解法一：（1）由，得.又,得.所以.令,得.當時, 單調遞減;當時, 單調遞增.所以當時, 取得極小值,且極小值為無極大值.
（2）令,則.由（1）得,故在R上單調遞增,又,因此,當時, ,即.
（3）①若,則.又由（2）知，當時, .所以當時, .取,當時，恒有.
②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.令,則.所以當時, 在內單調遞增.取,所以在內單調遞增.又.易知.所以.即存在,當時，恒有.
綜上，對任意給定的正數c，總存在,當時,恒有.
解法二：（1）同解法一
（2）同解法一
（3）對任意給定的正數c，取
由（2）知，當x>0時，，所以
當時，
因此，對任意給定的正數c，總存在,當時,恒有.