Question

已知數列1，3，6，…的各項是由一個等比數列{a_n}和一個等差數列{b_n}的對應項相加而得到，其中等差數列的首項為0．
（I）求{a_n}與{b₀}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）設數列{a_n}的公比為q，數列{b_n}的公差為d，由題意可得，由題意可得，

b1=0 a1+b1=0 aq+b1+d=3 a1q2+b1+2d=6

，解方程可求a₁，q，d，進而可求通項
（II）S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n），利用分組求和，利用等差數列與等比數列的求和公式可求

解答：解：（I）設數列{a_n}的公比為q，數列{b_n}的公差為d
由題意可得，

b1=0 a1+b1=0 aq+b1+d=3 a1q2+b1+2d=6

（2分）
解可得，d=1，q=2，a₁=1（5分）
∴an=2n-1，b_n=n-1（8分）
（II）S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=（1+2+…+2^n-1）+[0+1+…+（n-1）]
=

1-2n

1-2

+

n(n-1)

2

=2n-1+

n(n-1)

2

（12分）

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的通項公式及求和公式的應用，分組求和方法的應用．