Question

（本小題滿分12分）

如圖，在邊長為4的菱形中，．點分別在邊上，點與點不重合，，．沿將翻折到的位置，使平面⊥平面．

(1)求證：⊥平面；

(2)當取得最小值時，請解答以下問題：

(i)求四棱錐的體積；

(ii)若點滿足= ()，試探究：直線與平面所成角的大小是否一定大于?并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵　菱形的對角線互相垂直，∴，平面,∴　，∵，∴平面（2）(i)3 (ii) 一定大于，用向量可以求出

【解析】

試題分析：（1）證明：∵　菱形的對角線互相垂直，

∴，∴，                                               ……1分

∵ ，∴．                          

∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，

∴　平面,

∵ 平面，∴　.                                    ……3分

∵ ，∴　平面.                                  ……4分

（2）如圖，以為原點，建立空間直角坐標系.                    ……5分

（ⅰ）設 因為，所以為等邊三角形，

故，.又設，則，.

所以，，，

故 ，                                      ……6分

所以，

當時，. 此時，                      ……7分

由（1）知，平面

所以.             ……8分

（ⅱ）設點的坐標為，

由（i）知，，則，，，.

所以，，                            ……9分

∵，　

∴．

∴，

∴．                                               ……10分

設平面的法向量為，則．

∵，，∴　，

取，解得：， 所以.                            ……11分

設直線與平面所成的角，

∴

．                                    ……12分

又∵∴．                                              ……13分

∵，∴．

因此直線與平面所成的角大于，即結論成立．                 ……14分

考點：本小題主要考查線面垂直的證明和用空間向量解決立體幾何問題，考查學生的空間想象能力和運算求解能力.

點評：用傳統的方法證明立體幾何問題時要緊扣定理，定理中要求的條件缺一不可；用空間向量解決立體幾何問題時問題變得簡單，但是運算量比較大，要仔細運算，以防出錯.