Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）若數列{a_n+pn+q}是等比數列，求實數p、q的值；
（Ⅱ）若數列{a_n}的前n項和為S_n，求a_n和S_n；
（Ⅲ）試比較a_n與（n+2）²的大小．

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的定義，設

an+1+p(n+1)+q

an+pn+q

=m對任意n∈N^*都成立，待定系數法求出常數p和q的值．
（2）求出數列通項公式，拆項后分別使用等比數列、等差數列求和公式進行求和．
（3）對項數n進行檢驗、歸納猜想，將猜想的結論進行等價轉化，明確目標，將不等式進行適當的放縮．

解答：解：（Ⅰ）設

an+1+p(n+1)+q

an+pn+q

=m對任意n∈N^*都成立．
得a_n+1+p（n+1）+q=ma_n+mpn+mq．（2分）
又a_n+1=2a_n+n+1，
則2a_n+n+1+pn+p+q=ma_n+mpn+mq，
即（2-m）a_n+（p+1-mp）n+p+1+q-mq=0．
由已知可得a_n＞0，
所以

2-m=0 p+1-mp=0 p+1+q-mq=0

.解得

m=2 p=1 q=2

.（5分）
則存在常數p=1，q=2使數列{a_n+pn+q}為等比數列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+n+2=4•2^n-1．
則a_n=2ⁿ⁺¹-n-2．（8分）
所以S_n=a₁+a₂++a_n=2²+2³++2ⁿ⁺¹-（3+4++n+2）=

22(2n-1)

2-1

-

n(n+5)

2

=2n+2-4-

n2+5n

2

．（10分）
（Ⅲ）當n=1時，a₁=1，（1+2）²=9，則a₁＜9；
當n=2時，a₂=4，（2+2）²=16，則a₂＜16；
當n=3時，a₃=11，（3+2）²=25，則a₃＜25；
當n=4時，a₄=26，（4+2）²=36，則a₄＜36；
當n=5時，a₅=57，（5+2）²=49，則a₅＞49；（11分）
當n≥5時，要證a_n＞（n+2）²?2ⁿ⁺¹-n-2＞（n+2）²?2ⁿ⁺¹＞n²+5n+6．
而2ⁿ⁺¹=C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²++C_n+1ⁿ⁺¹≥2（C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²）+C_n+1³
=2+2(n+1)+n(n+1)+

(n-1)•n•(n+1)

6

≥2+2（n+1）+n（n+1）+（n-1）•n（∵n+1≥6）
=（n²+5n+6）+[n（n-3）-2]＞n²+5n+6．
所以當n≥5時，a_n＞（n+2）²．（13分）
因此當1≤n≤4（n∈N^*）時，a_n＜（n+2）²；當n≥5（n∈N^*）時，a_n＞（n+2）²．（14分）

點評：本題綜合考查數列的等比關系的確定，數列求和及將不等式適當放所的方法．