Question

設函數
(1)若是函數的極值點，和是函數的兩個不同零點，且，求；
(2)若對任意，都存在（為自然對數的底數），使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）;（2） 

試題分析：（1）根據極值的定義,對函數求導，利用導數為求出對應的值為極值點,可得到一個關于的等式，又由函數零點的定義，可得,這樣就可解得的值;（2）由題中所給任意，可設出關于的函數，又由得的最大值，根據要求，使得成立，可將問題轉化為在上有解，結合函數特點可求導數，由導數與的大小關系，可想到對與的大小關系進行分類討論，利用函數的最值與的大小關系，從而得到的取值范圍．
試題解析：解（1），∵是函數的極值點，∴.∵1是函數的零點，得，
由解得.          4分
∴,，
，所以，故．    8分
（2）令，，則為關于的一次函數且為增函數，根據題意，對任意，都存在，使得成立，則在有解，
令，只需存在使得即可，
由于=，
令，，
∴在(1，e)上單調遞增，，            10分
①當，即時，，即，在(1，e)上單調遞增，∴，不符合題意.             12分
②當，即時，，
若，則，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上單調遞減,
∴存在，使得，符合題意.             14分
若，則，∴在(1，e)上一定存在實數m，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上單調遞減,∴存在，使得，符合題意.
綜上所述，當時，對任意，都存在，使得成立.   16分