Question

已知橢圓的焦點是F₁（-1，0），F₂（1，0），P為橢圓上一點，且|F₁F₂|是|PF₁|和|PF₂|的等差中項．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求△PF₁F₂面積的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓和數列的基本性質以及題中已知條件便可求出a和b值，進而求得橢圓方程；（Ⅱ）先表達出△PF₁F₂面積，再結合圖形求面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題設|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4（2分）∴2a=4，2c=2，∴b=

3

（4分）
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（6分）
（Ⅱ）設點P的坐標為（x，y）△PF₁F₂面積S=

1

2

|F1F2|•|y|=

1

2

×2c×|y|=

1

2

×2|y|=|y|（8分）
所以當|y|取最大值時，△PF₁F₂面積的面積最大，所以點P為橢圓短軸端點時|y|取最大值（10分）
此時y=±

3

，即P（0，±

3

），△PF₁F₂面積的最大值S=

3

（12分）

點評：本題橢圓標準方程的求解利用了橢圓的定義，關鍵是求出其基本量，求面積的最大值，轉化為點P的縱坐標到y軸距離最大問題，則利用了圖形可以解決，體現了數形結合得數學思想．