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精英家教網如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，A，C分別是雙曲線虛軸的上、下頂點，B是雙曲線的左頂點，F為雙曲線的左焦點，直線AB與FC相交于點D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是（　　）
A、
7
7
B、
5
7
7
C、
7
14
D、
5
7
14
分析：利用雙曲線的簡單性質求出直線方程，求出三角形三個頂點的坐標，利用余弦定理求得cos∠BDF 的值．
解答：解：由題意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），
c
a
=2．
∴BF=c-a=a，BD 的方程為
x
-a
+
y
b
=1，即  bx-ay+ab=0，
DC的方程為 
x
-c
+ 
y
-b
=1，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由
bx - ay +ab = 0
bx +2ay + 2ab = 0 
得 D （-
4a
3
，-
b
3
），又 b=
c2- a2
=
3
 a，
∴FD=
(-c+
4
3
a)2+
b2
9
=
7a2
9
，BD=
(-a+
4
3
a)2+
b2
9
=
4
9
a2
，
三角形BDF中，由余弦定理得 a2= 
7
9
a2+
4
9
a2-2
7a2
9
•
4a2
9
cos∠BDF，
∴cos∠BDF=
7
14
，
故選 C．
點評：本題考查求直線方程，求兩直線的焦點坐標，余弦定理，以及雙曲線的簡單性質的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．又已知該雙曲線的離心率e=
5
2
．
（Ⅰ）求證：|
OA
|、|
AB
|、|
OB
|依次成等差數列；
（Ⅱ）若F(
5
，0)，求直線AB在雙曲線上所截得的弦CD的長度．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年湖北省天門市高三天5月模擬理科數學試題 題型：解答題

如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．又已知該雙曲線的離心率．

（1）求證：，，依次成等差數列；

（2）若F(，0)，求直線AB在雙曲線上所截得的弦CD的長度．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年北京一中高三（下）4月月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，A，C分別是雙曲線虛軸的上、下頂點，B是雙曲線的左頂點，F為雙曲線的左焦點，直線AB與FC相交于點D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數學 來源：2011年湖北省天門市高考數學模擬試卷3（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．又已知該雙曲線的離心率．
（I）求證：依次成等差數列；
（II）若，求直線AB在雙曲線上所截得的弦CD的長度．

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