Question

（文科）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，AA₁=4，點M在線段CC₁上．
（1）求異面直線A₁B與AC所成角的大��；
（2）若直線AM與平面ABC所成角為

π

4

，求多面體ABM-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（1）利用異面直線所成角的定義再結合正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中的性質可得直線A₁B與A₁C₁所成的角即為所求然后在三角形A₁C₁B利用余弦定理即可得解．
（2）由于多面體ABM-A₁B₁C₁的不規則性故可利用VABM-A1B1C1=VABC-A1B1C1- VM-ABC因此需利用直線AM與平面ABC所成角為

π

4

來確定點M的位置后問題就解決了．

解答：解：（1）連接BC₁則由于在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中AC∥A₁C₁故異面直線A₁B與AC所成角即為直線A₁B與A₁C₁所成的角
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，AA₁=4
∴BC₁=2

5

，A₁B=2

5

，A1C1=2

2

∴cos∠BA₁C₁=

BA12+A1C12-BC12

2BA1A1C1

=

10

10

∴異面直線A₁B與AC所成角即為arccos

10

10

（2）∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中MC⊥面ABCD
∴∠MBC=

π

4

∵BC=2
∴MC=2
∵VABM-A1B1C1=VABC-A1B1C1- VM-ABC
∴VABM-A1B1C1=

1

2

×2×2×4-

1

3

×

1

2

×2×2×2=

20

3

即多面體ABM-A₁B₁C₁的體積為

20

3

點評：本題主要考查了異面直線所成的角和幾何體體積的求解．解題的關鍵是第一問要利用圖形的性質將異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角而第二問對于不規則圖形體積的求解常采用規則圖形的體積差來求解（比如本題中的多面體ABM-A₁B₁C₁的體積轉化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積）！