Question

某同學對函數f（x）=xcosx進行研究后，得出以下五個結論：
①函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②對任意實數x，f（x）≤|x|均成立；
③函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
④函數y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
⑤當常數k滿足|k|＞1時，函數y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．其中所有正確結論的序號是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）=xcosx是奇函數可得①正確．根據|cosx|≤1，可得②正確．根據當x=kπ，k∈z 時，函數f（x）
=xcosx=0，可得③正確．根據當 x=2kπ，k∈z 時，方程xcosx=x 成立，可得④正確．
根據方程 xcosx=kx，|k|＞1，有唯一解為 x=0，可得⑤正確．

解答：解：由于函數f（x）=xcosx是奇函數，故圖象關于原點對稱，故①正確．
由于|cosx|≤1，故|f（x）|≤|x|，∴f（x）≤|x|成立，故②正確．
由于當x=kπ，k∈z 時，函數f（x）=xcosx=0，故函數y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個公共點，
且任意相鄰兩點的距離相等，故③正確．
由于方程xcosx=x 即cosx=1，故  x=2kπ，k∈z，函數y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，
且任意相鄰兩點的距離相等，且等于2π，故④正確．
由方程 xcosx=kx，|k|＞1，可得此方程有唯一解為 x=0，故函數y=f（x）的圖象與直線y=kx
有且僅有一個公共點，故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點評：本題考查余弦函數的圖象性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．