Question

已知正項數列{a_n}的前n項和，．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）定理：若函數f（x）在區間D上是凹函數，且f'（x）存在，則當x₁＞x₂（x₁，x₂∈D）時，總有，請根據上述定理，且已知函數y=xⁿ⁺¹（n∈N*）是（0，+∞）上的凹函數，判斷b_n與b_n+1的大小；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用a_n與_^Sn關系式變形得到a_n-a_n-1=1．所以數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列．即可求出a_n=n
（Ⅱ）先求出b_n，可令，再根據凹函數的定義得x₁ⁿ＜x₂^n+1，_即b_n＜b_n+1．
（Ⅲ）利用放縮法可證明，即先證明，，再利用（2）中的結論b_n＜b_n+1．可證得．
解答：解：（Ⅰ）n=1時，或a₁=1．
由于{a_n}是正項數列，所以a₁=1．
當n≥2時，，
整理，得a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
由于{a_n}是正項數列，∴a_n-a_n-1=1．
∴數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列．
從而a_n=n，當n=1時也滿足．
∴a_n=n（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
對于（0，+∞）上的凹函數y=xⁿ⁺¹，有y'=（n+1）xⁿ．
根據定理，得．（6分）
整理，得x₁ⁿ[（n+1）x₂-nx₁]＜x₂ⁿ⁺¹．
令，得（n+1）x₂-nx₁=1．（8分）
∴x₁ⁿ＜x₂ⁿ⁺¹，即．
∴b_n＜b_n+1．（10分）
（Ⅲ）∵，
∴．
又由（Ⅱ），得．
（或．）
∴．（14分）
點評：此題考查等差數列的定義，及用放縮法證明不等式．