Question

（2009•鹽城一模）袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為

2

7

．現在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止．每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用ξ表示取球終止時所需要的取球次數．
（Ⅰ）求袋中原有白球的個數；
（Ⅱ）求隨機變量ξ的概率分布及數學期望Eξ；
（Ⅲ）求甲取到白球的概率．

Answer 1

分析：（I）設出袋中原有n個白球，寫出試驗發生包含的事件數和滿足條件的事件數，根據等可能事件的概率公式得到關于n的方程，解方程即可；
（II）確定ξ的可能取值，求出相應的概率，即可求出隨機變量ξ的概率分布及數學期望Eξ；
（Ⅲ）甲先取，故甲只有可能在第1次和第3次取球，從而可求甲取到白球的概率．

解答：解：（I）設袋中原有n個白球，由題意知：

2

7

=

C 2 n

C 2 7

，∴n（n-1）=12
解得n=4（舍去n=-3），即袋中原有4白球；
（II）ξ的可能取值為1，2，3，4
P（ξ=1）=

4

7

，P（ξ=2）=

3×4

7×6

=

2

7

，P（ξ=3）=

3×2×4

7×6×5

=

4

35

，P（ξ=4）=

3×2×1×4

7×6×5×4

=

1

35

∴隨機變量ξ的概率分布列為

ξ	1	2	3	4
P	4 7	2 7	4 35	1 35

∴Eξ=1×

4

7

+2×

2

7

+3×

4

35

+4×

1

35

=

8

5

；
（III）∵甲先取，∴甲只有可能在第1次和第3次取球，
記“甲取到白球”為事件A，P（AA）=P（ξ=1）+P（ξ=3）=

24

35

點評：本題考查概率的求解，考查隨機變量的分布列與期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．