Question

設函數f(x)=ax+

b

x

，曲線y=f（x）在點M(

3

，f(

3

))處的切線方程為2x-3y+2

3

=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；       
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞減區間
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求f（x）的解析式就是求a與b的值，根據切點在曲線上以及在切點處的導數為切線的斜率建立關于a與b的方程組，即可求出所求；       
（Ⅱ）函數f（x）的單調遞減區間，只需令f′（x）＜0，解得x的取值范圍即為該函數的減區間；
（Ⅲ）先設P（x₀，y₀）為曲線上任一點，然后利用導數研究在該點處的切線方程，求出與直線x=0和直線y=x的交點坐標，表示出圍成的三角形面積，該值與x₀無關，即為定值．

解答：解：（Ⅰ）∵切點在切線上∴將點M代入切線方程解得f(

3

)=

4 3

3

，
由f′（x）=a-

b

x2

，
根據題意得關于a，b的方程組：

a- b 3 = 2 3 3 a+ b 3 = 4 3 3

，解得：a=1，b=1，
所以f（x）的解析式的解析式為：f(x)=x+

1

x

，
（Ⅱ）由f′（x）=1-

1

x2

（x≠0），
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0或0＜x＜1，
所以f（x）的單調減區間為（-1，0），（0，1）；
（Ⅲ）設P（x₀，y₀）為曲線上任一點，
由y′=1-

1

x2

知曲線在點P（x₀，y₀）處的切線方程為y-y0=(1-

1

x 2 0

)(x-x0)，
即y-(x0+

1

x0

)=(1-

1

x 2 0

)(x-x0)，
令x=0得y=

2

x0

，從而得切線與直線x=0的交點坐標為(0，

2

x0

)，
令y=x得y=x=2x₀，從而得切線與直線y=x的交點坐標為（2x₀，2x₀），
所以點P（x₀，y₀）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為

1

2

|

2

x0

||2x0|=2．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線在某點的切線方程，以及利用導數研究函數的單調性和圍成圖形的面積，同時考查了運算求解的能力和轉化的思想，屬于中檔題．