Question

已知函數f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2
（1）當a=0時，求f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在區間[0，2]上的最大值和最小值．
（2）若函數f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在區間[0，2]上的最小值為3，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入f（x），對其進行求導，利用二次函數的性質及其圖象進行求解；
（2）已知函數f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2，對其進行配方得到對稱軸，利用分類討論的方法進行求解；

解答：解：（1）當a=0，f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2=4x²+2，在（0，+∞）上為增函數，開口向上，
∴f（x）在x=0處取得最小值，f（x）_min=f（0）=2，
在x=2處取得最大值，f（x）_max=f（2）=18；
（2）函數f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2=4（x-

a

2

）²-a²+a²-2a+2=4（x-

a

2

）²-2a+2，開口向上，
在區間[0，2]上的最小值為3，
若a≤0，可得f（x）在[0，2]上為增函數，f（x）_min=f（0）=a²-2a+2=3，
解得a=1±

2

，∵a＜0，
∴a=1-

2

；
若0＜a＜4，可得0≤

a

2

≤2，f（x）在x=

a

2

上取最小值，f（x）_min=f（

a

2

）=-2a+2=3，
解得a=-

1

2

，（舍去）；
若a≥4時，f（x）在[0，2]上為減函數，f（x）_min=f（2）=16-a+a²-2a+2=3，
解得a無解，
綜上：a=1-

2

；

點評：此題主要考查二次函數的圖象及其性質，解題的過程中用到了分類討論的數學思想，這也是高考的熱點問題，本題是一道基礎題；