Question

設函數f（x）=ax³-3x²，（a∈R），且x=2是y=f（x）的極值點．
（Ⅰ）求實數a的值，并求函數的單調區間；
（Ⅱ）求函數g（x）=e^x•f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）求導，根據f′（2）=0可求出a的值，再由導數大于0時原函數單調遞增，導數小于0時原函數單調遞減可得答案．
（2）先求出函數g（x）的解析式然后求導，再由導數大于0時原函數單調遞增，導數小于0時原函數單調遞減可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），因為x=2是函數y=f（x）的極值點，
所以f′（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
經驗證，當a=1時，x=2是函數y=f（x）的極值點．所以f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
所以y=f（x）的單調增區間是（-∞，0），（2，+∞）；單調減區間是（0，2）
（Ⅱ）g（x）=e^x（x³-3x²），
g′（x）=e^x（x³-3x²+3x²-6x）=e^x（x³-6x）=x(x+

6

)(x-

6

)ex，
因為e^x＞0，所以，y=g（x）的單調增區間是(-

6

，0)，(

6

，+∞)；
單調減區間是(-∞，-

6

)，(0，

6

)．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．