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如圖，在棱長為1的正方體A1B1C1D1-ABCD中，
（1）求直線B1D與平面A1BC1所成的角；
（2）求點A到面A1BC1的距離．
分別以AB，AD，AA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
∵正方體A1B1C1D1-ABCD棱長為1，
∴B1（1，0，1），D（0，1，0），
B1D
=（-1，1，-1），
∵A1（0，0，1），B（1，0，0），C1（1，1，1），
∴
A1B
=（1，0，-1），
A1C1
=（1，1，0），
設平面A1BC1的法向量
n
=（x，y，z），則
n
•
A1B
=0，
n
•
A1C1
=0，
∴
x-z=0
x+y=0
，解得
n
=（1，-1，1），
設直線B1D與平面A1BC1所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜
n
，
B1D
＞|=|
-1-1-1
3
•
3
|=1，
∴直線B1D與平面A1BC1所成的角為90°．
（2）∵
AA1
=（0，0，1），平面A1BC1的法向量
n
=（1，-1，1），
∴點A到面A1BC1的距離d=
|
AA1
•
n
|
|
n
|
=
|0+0+1|
3
=
3
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知
a
=（2，-1，3），
b
=（-1，4，-2），
c
=（3，2，λ），若
a
、
b
、
c
三向量共面，則實數λ等于（　　）
A．2B．3C．4D．5

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為A1B1，CD的中點．
（1）求直線EC與AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．
（1）求
BN
的模；
（2）求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；
（3）求證：A1B⊥C1M．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求證：BD⊥PC；
（2）求三棱錐A-PCD的體積；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點H在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線B′D′上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH與CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DH與平面AA′D′D所成角的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的點，且CE=1．
（1）求證BE⊥B1C；
（2）求直線A1B與直線B1C所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出
EF
EA
；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

給出以下四個命題：
①空間兩條直線同垂直于第三條直線，則這兩條直線平行．
②空間兩個平面同垂直于一條直線，則這兩個平面平行．
③空間兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行．
④空間兩個平面同垂直于第三個平面，則這兩個平面平行．
其中真命題的個數是（    ）．
A．4B．3C．2D．1

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