Question

已知函數f（x）=ae^x-e^-x，x∈R有一個零點為0，且函數f（x）的導函數為f′（x）．
（1）求實數a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間及f′（x）的最值；
（3）請探究當x∈[0，+∞）時，是否存在實數k，使得f（x）≥kx恒成立，若存在，請求出k的取值范圍，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=ae^x-e^-x，x∈R有一個零點為0，則有f（0）=0，得出a=1
（2）由（1），f（x）=e^x-e^-x，求出f′（x），利用單調性與導數的關系求解即可．
（3）假設當x∈[0，+∞）時，存在實數k，使得f（x）≥kx恒成立．構造g（x）=f（x）-kx=e^x-e^-x-kx只需g（x）min≥0即可，轉化為求g（x）min．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）由題可知f（0）=ae⁰-e^-0=0，a=1…．（1分）
（2）∴f（x）=e^x-e^-x即f(x)=ex-

1

ex

f′(x)=ex+

1

ex

≥2

ex• 1 ex

=2＞0
所以函數f（x）的單調遞增區間為R，f'（x）的最小值為2．…（4分）
（3）假設當x∈[0，+∞）時，存在實數k，使得f（x）≥kx恒成立．
設g（x）=f（x）-kx=e^x-e^-x-kx，g'（x）=e^x+e^-x-k…．（6分）
當k≤2時，g'（x）≥0，所以g（x）在[0，+∞）為單調遞增函數，
∴g（x）≥g（0）=0恒成立
所以f（x）≥kx恒成立．…．（9分）
當k＞2時，
不妨設 g'（x）=e^x+e^-x-k＞0
則x＜x1=ln

k- k2-4

2

或x＜x2=ln

k+ k2-4

2

∵k＞2，∴x₁＜0，x₂＞0
∴0＜x＜x₂時，g'（x）＜0，x＞x₂時，g'（x）＞0
∴g（x）_min=g（x₂）＜g（0）=0
所以當k＞2時g（x）≥0恒成立是不可能的．
綜上所得：當x∈[0，+∞）時，存在實數k≤2，使得f（x）≥kx恒成立．
…．（13分）

點評：此題考查函數單調性與導數的關系，考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區間，求函數最值，極值．掌握不等式恒成立時所取的條件，是一道綜合題．