Question

已知命題p：關于x的不等式x²-ax+1≥0對任意x∈R恒成立；命題q：函數f(x)=

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x3-x2-ax+2在x∈[-1，1]上是增函數．若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出組成復合命題的簡單命題的為真時a的取值范圍，由復合命題真值表知，若“p且q”為假，“p或q”為真，則命題p、q一真一假，分別求出當p真q假時和當q真p假時a的取值范圍，再求并集可得答案．

解答：解：∵關于x的不等式x²-ax+1≥0對任意x∈R恒成立，
∴△=a²-4≤0⇒-2≤a≤2；
∴命題p為真命題時，-2≤a≤2；
由函數f(x)=

1

3

x3-x2-ax+2在x∈[-1，1]上是增函數，
得當x∈[-1，1]時，f′（x）=x²-2x-a＞0；
∵f′（x）在[-1，1]上單調遞減，
∴f′（1）=-1-a＞0⇒a＜-1，
∴命題q為真命題時，a＜-1；
由復合命題真值表知，若“p且q”為假，“p或q”為真，則命題p、q一真一假，
當p真q假時，

-2≤a≤2 a≥-1

⇒-1≤a≤2；
當q真p假時，

a＞2或a＜-2 a＜-1

⇒a＜-2．
綜上a的取值范圍為[-1，2]∪（-∞，-2）．

點評：本題借助考查復合命題的真假判斷，考查了函數的單調區間的判定及一元二次不等式的恒成立問題，解題的關鍵是求得組成復合命題的簡單命題的為真時a的取值范圍．