Question

（本小題滿分12分）數列｛a_n｝滿足a₁=1,a_n=a_n-1+1　 (n≥２)
⑴　寫出數列｛a_n｝的前５項；
⑵　求數列｛a_n｝的通項公式。

Answer 1

⑴ a₁="1" ,a₂=⑵ a_n=2。

本試題主要是考查了數列遞推關系求解數列的通項公式和前n項和。
（1）對于n令值，得到數列的前幾項的值。
（2）根據前幾項，歸納猜想，得到數列的通項公式，并運用數學歸納法加以證明。
解 ⑴ a₁="1" ,a₂=
（ 猜想  ｛a_n-2｝是等比數列 ）………4分
⑵ 解法一由a_n=a_n-1+1　 (n≥２) 得a_n－2=(a_n-1－2) ………7分
令 b_n= a_n－2 則b_n=b_n-1
又b₁=a₁－2=-1 故｛b_n｝是等比數列，首項－1，公比為，………9分
b_n=  ………11分
于是 a_n=2………12分
解法二 設 a_n+k=h(a_n-1+k)其中k、h為待定系數。
將a_n=ha_n-1+kh-k 與  a_n=a_n-1+1 比較得  h= , k=－2
故a_n－2=(a_n-1－2)   (n≥２)      而  a₁－2=－1
數列｛a_n－2｝是以 為公比，－1首項的等比數列。
a_n－2=，   a_n=2。